Dæmi fyrir EÐL306G 2013

• Fyrsti skammtur fyrir dæmatíma 3. september 2012:
  Skiladæmi: Eind er í ástandi sem lýst er með bylgjufallinu
  

  ψ(x)=Ax²exp(-(x/a)²),

  þar sem a er fasti tengdur lengdarskala.
  1. Finnið stöðlunarfastann A.
  2. Reiknið væntigildi virkjanna x og x².
  3. Reiknið væntigildi virkjanna p og p².
  4. Reiknið staðalfrávikin σ_x og σ_p.
  5. Uppfyllir σ_xσ_p óvissulögmálið?
  (Skilafrestur: fimmtudagur 29. ágúst 2013 klukkan 17:00),
  Lausn skiladæmis
  
  Tímadæmi: 1.5, 1.7 og 1.14 í bók

• Annar skammtur fyrir dæmatíma 10. september 2013:
  1. Skiladæmi: Eind í óendanlegum brunni með lengd a er í ástandi sem lýst er með bylgjufallinu klukkan t=0
  

  ψ(x)= Ψ(x,0)= A[ψ₃(x)-iψ₅(x)].

  1. Finnið stöðlunarfastann A.
  2. Reiknið væntigildi x. Hvernig er það háð tíma?
  3. Finnið |Ψ(x,t)|². Hvernig er það háð tíma?
  4. Hvaða niðurstöður fást ef orka eindarinnar er mæld? Með hvaða líkindum?
  5. Finnið væntigildi virkja Hamiltons, H.
  
  2. Skiladæmi: Bylgjufall eindar í óendanlegum brunni með lengd a er sem
  

  Ψ(x)= Ax(a-x)(x-a/2).

  1. Finnið stöðlunarfastann A.
  2. Hvaða niðurstöður fást ef orka eindarinnar er mæld? Með hvaða líkindum?
  3. Hvert er væntigildi virkja Hamiltons?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 5. september 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  
  Tímadæmi: 2.5, 2.6 og 2.7 í bók

• Þriðji skammtur fyrir dæmatíma 17. september 2013:
  1. Skiladæmi: Reiknið væntigildi virkjanna p⁴ og x⁴ fyrir n-ta ástand hreintóna sveifils. Þessi væntigildi koma við sögu síðar þegar við reiknum leiðréttingu á hreintóna sveiflinum vegna takmörkuðu afstæðiskenningarinnar, og þegar könnuð er truflun á innilokunarmætti hans.

2. Skiladæmi: Víxl tveggja virkja eru skilgreind sem [A,B]=AB-BA.
1. Sýnið að [A,BC]=B[A,C]+[A,B]C.
2. Finnið [x,H] og [p,H] fyrir hreinatóna sveifil.
3. Reiknið [a_-,H] og [a₊,H] fyrir hreintóna sveifil.
Þessi víxl koma við sögu þegar fundin er tímaþróun væntigilda virkjanna í mynd Schrödingers sem við erum að kanna skammtafræðina í. (Í mynd Heisenbergs eru þau nauðsynleg til að reikna tímaþróun virkjanna).

(Skilafrestur: fimmtudagur 12. september 2013 klukkan 17:00),
Lausnir skiladæma
Tímadæmi: 2.19 og 2.22 í bók

• Fjórði skammtur fyrir dæmatíma 24. september 2013:
  1. Skiladæmi: Dæmi 2.29 í bók. Eftir að finna grafísku lausnina eins og Griffiths leggur til ættum við að nota eitthvert forrit eins og MatLab, Octave, Maxima, eða wXmaxima til þess að finna orku eiginástandsins þegar z₀=2. Það ætti að sannfæra okkur um að það er einfalt að ráða við margar óbeinar jöfnur tölulega.
  2. Skiladæmi: Dæmi 2.30 í bók.
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 19. september 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: Fjórða skiladæmi frá 2011 og 2012.

• Fimmti skammtur fyrir dæmatíma 1. október 2013:
  1. Skiladæmi: Hugsum okkur mættið

  V(x)=V₀, ef x< 0
  V(x)=0, annars.

  Eind með orku E kemur frá vinstri að þessu mættisþrepi.
  1. Finnið líkindi þess, R, að eindin endurkastist til vinstri af þrepinu.
  2. Finnið framferðarlíkur eindarinnar T.
  3. Staðfestið að líkurnar séu varðveittar, þ.e. T+R=1.
  Hér þarf að nota varðveislu líkindastraumsins til þess að skilgreinar líkurnar rétt því hraði eindarinnar breytist við þrepið.
  2. Skiladæmi: Dæmi 2.42 í kennslubók.
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 26. september 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: 2.45 og 2.51 í kennslubók.

• Sjötti skammtur fyrir dæmatíma 8. október 2013:
  1. Skiladæmi: Hugsum okkur mættið

  V(x)=V₀, ef x< 0
  V(x)=αδ(x-a), ef x>0.

  Finnið og kannið ítarlega endurkasts- og framferðarlíkur eindar sem kemur með orku E frá vinstri. Hver eru áhrif delta-mættisins? Hvernig breytast þau með innorku eindarinnar og styrk delta-mættisins? Sjást hermur?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 3. október 2013 klukkan 17:00),
  Lausn skiladæmis, og gnuplot-skriftur fyrir 2D-TR, 3D-T, bylgjufalli.
  Tímadæmi: 3.21, 3.22 og 3.27 í kennslubók.

• Sjöundi skammtur fyrir dæmatíma 15. október 2013:
  1. Skiladæmi: Dæmi 3.35 í bók.
  2. Skiladæmi: Þrístiga kerfi er lýst með virkja Hamiltons

  H=E(|1><1|+2|2><2|+i|1><2|-i|2><1|+3|3><3|+|3><1|+|1><3|),

  þar sem ástöndin |1>, |2> og |3> mynda staðlaðan fullkominn grunn og E er fasti með vídd orku. Finnið eigingildi og eiginvigra H. Hvernig lítur virkinn H út í nýja grunni eiginvigranna? Hver eru væntigildi H fyrir ástöndin |1>, |2> og |3>?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 10. október 2013 klukkan 17:00),
  Lausn skiladæma
  Tímadæmi: 4.27 og 4.29 í kennslubók.

• Áttundi skammtur fyrir dæmatíma 22. október 2013:
  1. Skiladæmi: Hugsum okkur rafeind lokaða inni í kúlu (óendanlegur þrívíður brunnur). Finnið ástöndin sem eru sambærileg við 1s, 2s og 2p ástönd rafeindar í vetnisatómi. Rökstyðjið val ykkar. Finnið orku þessara samsvarandi ástanda rafeindar í kúlu. Eru 2s og 2p ástöndin margföld eða með sömu orku?
  2. Skiladæmi: Dæmi 4.26 í bók.
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 17. október 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: 4.55 og 4.56 í kennslubók.

• Níundi skammtur fyrir dæmatíma 29. október 2013:
  1. Skiladæmi: Notið eiginleika tengdu margliða Laguerre til þess að sjá að bylgjufallið fyrir vetnisatóm í ástandi |n,n-1,m> er á forminu

  R_n,n-1 ~ r^n-1exp(-r/(na)).

  (Hér er um sértilfellið l=n-1 að ræða).
  1. Skrifið niður bylgjufallið og reiknið stöðlunarfastann. Hvernig passar hann við þann sem gefinn er í bókinni?
  2. Reiknið væntigildin < r > og < r² > fyrir ástandið.
  3. Reiknið σ_r og σ_r/< r > og túlkið.
  4. Teiknið radial bylgjuföllin fyrir |1,0>, |5,4> og |17,16>.
  Athugið að skilgreining á Laguerre fleirliðum í kennslubókinni er ekki sú sama og Wikipedia og N.N. Lebedev gefa. Ég kann best við að nota Laguerre og bylgjuföll vetnisatóms.
  2. Skiladæmi: Finnið fylkjaútsetningu S_y og S_z fyrir eind með spuna 3/2 í grunni eiginástanda S_z. Hver eru eigingildi S_y?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 24. október 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: 4.17 og 4.55 í kennslubók.

• Tíundi skammtur fyrir dæmatíma 5. nóvember 2013:
  1. Skiladæmi: Þrístiga kerfi er lýst með virkja Hamiltons

  H₀ = E₀{|1><1|+|2><2|+|3><3|},

  þar sem E₀ er fasti með vídd orku. Kerfið er truflað með

  H' = E₀{-|1><1|+i|1><3|+|2><2|-i|3><1|},

  þannig að truflaða kerfinu er lýst með H₀+λH', þar sem λ <<1 er víddarlaus fasti
  1. Hvernig er orkuróf H₀?
  2. Finnið nákvæmt orkuróf H.
  3. Notið fyrsta stigs truflanaeikning til að finna orkuróf H
  4. Hvernig ber niðurstöðunum saman fyrir orkuróf H?
  
  2. Skiladæmi: Einvíður hreintóna sveifill með orkuróf E_n=hν(n+1/2) er truflaður með H'=λhν(x/a)^p þar sem λ << 1. Finnið grunnástandsorkuna samkvæmt fyrsta stigs truflunarmeðferð þegar p=3 og p=4. Hvers vegna eru niðurstöðurnar svo ólíkar sem raun ber vitni?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 31. október 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: 6.5 og 6.7 í kennslubók.

• Ellefti skammtur fyrir dæmatíma 12. nóvember 2013:
  1. Skiladæmi: Hreintóna sveifill er truflaður með λH'=λhν(x/a)⁴.
  Finnið orku grunnástandsins með λ² leiðréttingu.
  2. Skiladæmi: Hugsum okkur vetnisatóm sem lokað er inni í kúlu með geisla a sem er minni en geisli Bohrs a_B.
  Við ímyndum okkur að kúlan tákni að atómið sé sett í miðju óendanlegs kúlulaga mættisbrunns.
  Hvernig getum við reiknað út orkumun 1S og 2S ástandanna með truflanareikningi?
  Gerið það með fyrsta stigs truflunaraðferð fyrir λ = a/a_B << 1.
  Hér vaknar spurningin: Hvað gætum við gert þegar λ = a_B/a << 1?
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 7. nóvember 2013 klukkan 17:00),
  Lausnir skiladæma
  Tímadæmi: 6.32 og 6.33 í kennslubók.

• Tólfti skammtur fyrir dæmatíma 19. nóvember 2013:
  1. Skiladæmi: Dæmi 9.4 í bók.
  
  (Skilafrestur: fimmtudagur 14. nóvember 2013 klukkan 17:00),
  Lausn skiladæmis
  Tímadæmi: 9.1, 9.7 og 9.3 í kennslubók.