Dæmaskammtur 07 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2020

1. Ögn hreyfist í miðlæga mætti Wood og Saxons U(r) = -U₀/(1+exp{-(r/b)}). Mættið hefur verið notað til að lýsa opnum skammtapunkti, eða kjarnmætti.
   1. Hvert er virka mættið V(r) fyrir ögnina?
   2. Finnið óbeina jöfnu fyrir geisla stöðugrar hringbrautar.
   3. Fyrir miðlægt mætti er hverfiþungi agnarinnar l = μr²θ̇. Finnið hve hár hverfiþunginn getur verið fyrir hringlaga braut.
   Hér er gott að nota grafík-tól eftir heppilega skölun breyta og muna að lausnir á óbeinum jöfnum má finna gróflega á grafi og enn betur með rótarleit (find root) í wXmaxima.


2. Ögn með massa m finnst á braut sem lýst er með jöfnunni r = kθ, þar sem k er jákvæður fasti. Er þannig braut möguleg í miðlægu mætti? Ef svo ákvarðið bæði kraftinn F(r) sem verkar á hana og stöðuorkufallið U(r) sem hún hreyfist í.


3. Í beinu framhaldi af dæminu á undan. Í fyrirlestri var athugað hvernig kraftur gæfi brautina r = ke^αθ, og á vefnum eða eldri dæmum í námskeiðinu er brautin r = kθ² skoðuð í sama tilgangi. Takið eftir að þetta eru allt vaxandi föll af horninu θ. Í þessu dæmi eigið það að finna miðlæga kraftinn og mættið sem gætu valdið hreyfingu sem lýst er með fallinu r = ktanh(θ). Þetta er fall með efri mörk fyrir vöxtinn með θ. Getum við séð hér hvers vegna svo er? Hér er heppilegt að gera mynd af U(r) og F(r).


4. Ögn hreyfist í mætti Hulthéns U(r) = U₀ exp(-r/a)/[1-exp(-r/a)], þar sem a er jákvæður fasti. Mættið hefur verið notað til að lýsa kröftum í kjarna atóma og kröftum í efnisfræði.
   1. Teiknið upp U(r).
   2. Teiknið upp virka mættið V(r).
   3. Eru til stöðugar hringbrautir í mættinu?
   4. Hver er mesti hverfiþungi sem ögn á hringhreyfingu getur haft í mættinu?
   5. Hver er horntíðni smárra sveiflna um hringbrautina?