Dæmaskammtur 07 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2019

1. Ögn hreyfist í miðlæga mættinu U(r) = -U₀exp{-(r/a)²}. Mættið er oft notað til að lýsa opnum skammtapunkti, eða kjarnmætti.
   1. Hvert er virka mættið V(r) fyrir ögnina?
   2. Finnið óbeina jöfnu fyrir geisla stöðugrar hringbrautar.
   3. Fyrir miðlægt mætti er hverfiþungi agnarinnar l = μr²θ̇. Finnið hve hár hverfiþunginn getur verið fyrir hringlaga braut.
   4. Finnið gildi virka mættisins á þessari markhringbraut?


2. Mætti Lennards og Jones má skrifa sem U(r) = E₀[(a/r)¹²- (a/r)⁶]. Mættið er oft notað til að lýsa mættisorku efnatengja. Seinni liðurinn lýsir stöðuorku vegna flökkts á skautun rafeinda í atómi, en fyrri liðurinn er nálgun á fráhrindingu tveggja atóma þegar lengdin milli þeirra er mjög stutt.
1. Finnið fall Lagrange, L, fyrir tvö atóm sem víxlverkast með kraftinum sem þetta mætti lýsir.
2. Umritið fall Lagrange úr liðnum á undan fyrir eina ögn ef massamiðjunni er haldið fastri.
3. Finnið jafnvægisfjarlægðina frá kraftmiðjunni og sýnið að hún bjóði upp á stöðugt jafnvægi.
4. Finnið tíðni smárra sveiflna um jafnvægisfjarlægðina.
5. Hverju lýsa smáu sveiflurnar með tilliti til atómkerfisins?


3. Tveir eins punktmassar m víxlverkast með kraftinum F = -kr, þar sem r er fjarlægðin milli þeirra. Þeim er haldið á viðnámslausri láréttri sléttu af þyngdarkraftinum, en kerfið getur runnið, sveiflast og snúist frjálst í sléttunni.
   1. Finnið fall Lagrange fyrir heildarkerfið sem lýst getur öllum nefndum frelsisgráðum.
   2. Notið fall Lagrange til að finna hreyfijöfnur kerfisins
   3. Finnið fall Hamiltons fyrir kerfið.
   4. Finnið hreyfijöfnur Hamiltons fyrir kerfið.


4. Ögn með massa m er skorðuð til að hreyfast á fleygbogafletinum sem lýst er með r² = 4az í sívalningshnitum. Þyngdarkraftur verkar á ögnina.
1. Hvað þarf að gilda um hringlaga brautir í kerfinu?
2. Hver er horntíðni smárra sveiflna um hringbrautina?