Dæmaskammtur 06 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2020

1. Hugsum okkur fall Lagrange L(q,dq/dt,t). Bætum við það heildartímaafleiðu af falli F(q,t) þannig að L'(q,dq/dt,t) = L(q,dq/dt,t) + dF/dt. Þar sem L' er fall af sömu breytum og L getum við gert ráð fyrir að L og L' uppfylli sömu jöfnu Eulers og Lagrange. Sýnið að svo sé með því að setja L' inn í þá jöfnu. Dæmið sýnir að almennt er ekki hægt að ákvarða einhlítt fall Lagrange út frá hreyfijöfnum kerfis.


2. Ögn með massa m hreyfist í kúluyfirborði án þess að ytri kraftar verki á hana. (Heimur hennar er kúluyfirborð með geisla R).
   1. Hvað þarf mörg alhnit til að lýsa hreyfingum agnarinnar?
   2. Veljið alhnit og finnið fall Lagrange fyrir ögnina.
   3. Finnið alskriðþunga agnarinnar og fall Hamiltons H fyrir hana.
   4. Finnið hreyfijöfnur Hamiltons.
   5. Lýsir fall Hamiltons H heildarorku kerfisins?


3. Ögn með massa m hreyfist í yfirborði sem myndast þegar fleygboga er snúið um z-ás kartísks hnitakerfis. Yfirborðið er kyrrt í þyngdarsviði. Notið sívalningshnitin r (mælt frá samhverfuás yfirborðsins z-ásnum) og φ sem alhnit.
1. Finnið fall Lagrange fyrir kerfið.
2. Finnið alskriðþunga agnarinnar og fall Hamiltons.
3. Finnið hreyfijöfnur Hamiltons fyrir kerfið.
4. Finnið hreyfijöfnu Lagrange fyrir r-hnitið.
5. Finnið tíðni smárra sveiflna agnarinnar þegar dφ/dt = 0.


4. Pendúll með lengd L og massa m er hengdur upp á annan enda stangar með lengd R sem snýst í láréttu x-y-sléttunni með fastri hornferð ω um hinn endann sem festur er í upphafspunkt hnitakerfisins. Við gerum ráð fyrir að pendúllinn sé alltaf strektur og sé í föstu þyngdarsviði.
   1. Finnið fall Lagrange fyrir kerfið.
   2. Finnið hreyfijöfnur Lagrange fyrir kerfið.
   3. Sýnið að kerfið sé venjulegur kúlupendúll þegar ω = 0.