Dæmaskammtur 05 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2019

1. Ögn með massa m rennur viðnámslaust í föstu þyngdarsviði í x-z-sléttunni eftir vír sem sveigður er þannig að z = z₀{cosh(αx)-1}, þar sem α og z₀ eru jákvæðir fastar.
   1. Hvernig er skorðum leiðarinnar lýst? Hvernig flokkast skorðurnar fyrir ögnina?
   2. Finnið hreyfijöfnur Lagrange fyrir ögnina þegar beint tillit er tekið til skorðanna. Hvað eru mörg alhnit notuð?
   3. Finnið hreyfijöfnur Lagrange fyrir ögnina með því að nota skorðufallið með margfaldara Lagrange λ. Hve mörg alhnit eru notuð?
   4. Hvernig lýtur fallið λ(x,ẋ) út?
   5. Finnið x- og z-þætti skorðukraftsins sem verkar á ögnina sem föll af x og ẋ.
   6. Hver er tíðni smárrar sveiflu í kerfinu?


2. Lítill gegnheill sívalningur með massa M og geisla a veltur án þess að skrika innan í rennu sem er hálfur sívalningur með geisla R. Sívalningurinn veltur aðeins í x-z-sléttunni, en ekki langs eftir rennunni í y-stefnuna.
   1. Hvað þarf að gilda um a til að sívalningurinn geti oltið?
   2. Hvaða fall lýsir skorðum kerfisins?
   3. Finnið heppileg alhnit.
   4. Finnið fall Lagrange fyrir hreyfinguna.
   5. Finnið hreyfijöfnu Lagrange.
   6. Hver er tíðni lítillar sveiflu í kerfinu?


3. Ögn með massa m hreyfist í tvívíðri sléttu í miðlæga mættinu U(r) = -k/r², með k sem jákvæðan fasta.
   1. Finnið hreyfijöfnu Lagrange fyrir ögnina.
   2. Er hverfiþungi agnarinnar miðað við kraftmiðju varðveittur?
   3. Er heildarorka agnarinnar varðveitt?


4. Massi M er á láréttu viðnámslausu borði. Á borðbrúninni er trissa. Massalaust tengir massann M um trissuna við annan sams konar massa M sem hangir fram yfir borðbrúnina. Finnið og leysið hreyfijöfnur Lagrange til að lýsa hreyfingunni.