Dæmaskammtur 01 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2019

1. Ögn hreyfist í einni vídd undir áhrifum krafts sem best er lýst með mættisfallinu U(x) = -U₀/cosh²(αx). Hugsum okkur að ögnin sé stödd án hreyfiorku í x₀ klukkan t₀. Veljum x₀ vinstra megin við miðju mættisins, x₀ < 0.
   1. Hvers konar hreyfingu getum við búist við?
   2. Reiknið tímann, τ = t-t₀ sem ögnin þarf til að komast í x = 0 klukkan t.
   3. Hvað er sérstakt við τ?
   4. Hve langan tíma tekur ögnina að komast í x₁, ef x₀ < x₁ < 0?
   Mættisfallið U(x) hefur mjög sérstaka eiginleika bæði í sígildum og skammtakerfum. Með vissu vali á stikum verður það þannig að engin ögn endurkastast af því, óháð hreyfiorku hennar. Það kemur því við sögu í hlutum sem ekki sjást í ratsjám í einhverri útfærslu. Í skammtafræði hefur það oft bundið ástand með engri jónunarorku, og það kemur við sögu í einfarabylgjum.


2. Ögn með massa m ferðast í einvídd í efni með núningskrafti f = -mk(v²+βv), þar sem k og β eru fastar með réttum víddum. Hversu langt kemst ögnin ef upphafshraði hennar er v₀? Hversu langan tíma tekur ferðalag hennar?


3. Hlutur með massa m er kyrrstæður á skáplani sem hallar um hornið θ miðað við lárétta sléttu. Á hlutinn verka þyngdarkraftur og viðnámskraftur f = -kmv. Hversu langan tíma þarf hluturinn til að renna vegalengdina d frá upphafsstað?


4. Hlutur fellur úr kyrrstöðu í föstu þyngdarsviði með viðnámskrafti í réttu hlutfalli við v⁴.
   1. Finnið jöfnu sem tengir hraða hennar og tíma.
   2. Finnið markgildi þeirrar jöfnu þegar viðnámið hverfur.
   3. Er hægt að sjá frá nákvæmu lausninni sem tengir hraða og tíma að hluturinn nái markhraða í nógu löngu falli?
   4. Hver er markhraðinn?
   5. Er hægt að finna markhraðann frá hreyfijöfnunni án þess að leysa hana?