Dæmaskammtur 08 fyrir Aflfræði (EÐL302G) 2020

1. Skoðið dæmi 01 í áttunda skammti 2015. Þar rennur reipi með massa m og lengd L fram af borðbrún án viðnáms. Upphaflega hangir x₀ út fyrir brúnina, x(0) = x₀ og v(0) = 0. Gamla lausnin er unnin út frá hreyfijöfnu reipsins.
   1. Leysið dæmið með því að nota orkuvarðveislu. Til þess þurfið þið að finna stöðuorkufall U(x) og huga að heildarorkunni E_T.
   2. Skoðið tímann τ sem líður þar til reipið yfirgefur borðið sem fall af x₀ á bilinu [0:L].
   3. Hvert er aðfelluform lausnarinnar fyrir τ þegar x₀ -> 0?


2. Hugsum okkur alþjált reipi með massa M og lengd L. það liggur hringað upp á sléttu eins og í dæmi 04 í áttunda skammti 2019. Reipið er ekki með fastan massaþéttleika, heldur gildir λ(x) = αx. Við grípum í léttari endann og togum það upp með fastri hröðun a. Hvaða kraftur verkar á höndina frá reipinu? Hér er þægilegt að reikna fall M(z) sem gefur þann hluta massa reipsins sem er á lofti þegar mjórri endinn er í hæð z frá borði sem er í z = 0.


3. Pizza með geisla a hefur fastann massaþéttleikann σ = M/A, þar sem A er flötur hennar. Nú er π/2-sneið skorin úr henni. Finnið hnit massamiðjunnar. Hér er nauðsynlegt að huga vel að uppsetningu verkefnisins. Hvernig er pizzan staðsett miðað við hnitakerfið sem nota á, og s. fr.


4. Í beinu framhaldi af síðasta dæmi, hugsum okkur 3π/2 baug með geisla a og massaþéttleika λ = M/L, þar sem L er lengd baugsins. Finnið missumiðju baugsins.